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华人数学家死磕欧拉方程10年,用计算机找到了让它失效的“奇点”

2022-11-21
19992

专研长达10年,论文足足177页


华人数学家通过计算机,找到了让著名欧拉方程失效的“奇点”。


欧拉方程,是250年前(1755年)由瑞士数学家欧拉提出,属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程。


它可以说是“鼻祖级”的方程,正如杜克大学数学家Tarek Elgindi的评价:几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的。


即便如此,几百年来仍有许多“未解之谜”让数学家们困惑不已。


例如原则上,如果你已知流体中每个粒子的位置和速度,欧拉方程应该能够预测流体将如何一直演化下去。


但数学家们认为,欧拉方程在某个“奇点”上便会开始输出没有意义的数值,也就是无法再做精准预测。


而一旦达到这个点,人们就认为欧拉方程失效了,更戏剧化的说法,叫做产生了“爆破”(blow up)。


来自加州理工学院华人数学家Thomas Hou等人所做的研究工作,就是通过计算机对此做出了证明。



马里兰大学数学家Tristan Buckmaster在看完这项工作后说:这是一个惊人的结果。此前从来没有过。


用计算机证明欧拉方程的“爆破”


早在2013年的时候,Thomas Hou和现在就职于香港恒生大学的Guo Luo就提出过一个假设:欧拉方程会导致一个奇点。

为此,他们开发了一种计算机来模拟圆柱体中的流体:圆柱体内的液体,上半部分是顺时针旋转,而下半部分则是逆时针旋转。


这两股相反方向的水流在运动的过程中,产生了其它复杂的情况——出现上下循环的水流。


而在它们相遇的地方,流体的涡度(描述流体旋转情况的流体力学概念)以极快的速度增长,似乎随时就要“爆破”。


但他们当时的研究只能说对于“奇点存在”是具备启示性,并没有真正意义的证据。


这是因为计算机不可能计算出无穷大的值,它可以算出的是非常接近奇点的近似值,但并非是精准的那种。


事实上,当用更强大的计算方法探测时,明显的奇点却已经消失了。


也正因如此,普林斯顿大学数学家Charlie Fefferman评价过去人们对这件事的研究为:问题非常的微妙,以至于到处都是模拟研究的“残骸”。


但Thomas Hou等人却不为所动,坚持“死磕”这一难题。


终于在9年后,他和他之前的研究生Jiajie Chen成功证明了附近奇点的存在。

他们先是仔细分析了2013年的研究,发现那个近似解似乎有一个特殊的结构:

随着时间的推移,这些方程的解会呈现出一种所谓的“自相似模式”(self-similar pattern),它的形状后来看起来很像它的早期形状,只是以一种特定的方式重新缩放。


因此,二人认为不需要去研究奇点的本身,相反,可以关注更早的时间点来间接对它做研究。


具体而言,就是通过正确的速率放大解的这部分(是由解的自相似结构决定的),可以模拟之后会发生什么。


为此,他们花费了好几年的时间才找到了与2013年“爆破”情况类似的自我模拟方案。


然后二人需要做的工作,就是证明奇点附近存在一个精确的解。


从数学层面上来说,就是要证明他们找到的那个解是稳定的,即便对它进行扰动,结果也能在近似解周围小邻域的范围内。

但在这个过程中,Thomas Hou发现,他们不得不再借助计算机的力量,因为有太多的精度要确定,计算量简直大到惊人的程度。

但也正如刚才我们提到的,计算机是无法计算无穷大的值,微小的错误可以说是在所难免,因此他们也要小心地跟踪这些错误,以免影响到其它结果。


最终,在“人机结合”的方式之下,Thomas Hou和Jiajie Chen最终找到了所有项的边界,并完成了证明——欧拉方程确实会产生一个奇点。


而这次的证明过程,让Thomas Hou感受颇深:现在的数学工作不再是靠纸和笔,计算机是一种更强大的武器。


对此,Fefferman也补充道:在我看来,如果不大量使用计算机辅助证明,就好像把(数学家)的双手绑在背后一样。

作者介绍

这项研究的作者之一是Thomas Hou,加州理工学院计算与数学科学教授,专攻数值分析和数学分析相关工作。


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他本科就读于华南理工大学,于1982年获得学士学位;他的博士生涯是在加州大学洛杉矶分校完成。

1989年到1993年期间,他在纽约大学库朗数学科学研究所任教。

自1993年至今,他便一直在加州理工学院任教。

研究的另一位作者是Jiajie Chen,目前是纽约大学的数学科学家。

他在研究生期间就证明了各种流体方程式可以“爆破”。


论文地址:

https://arxiv.org/abs/2210.07191

参考链接:

[1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/
[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou


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