华人数学家死磕欧拉方程10年，用计算机找到了让它失效的“奇点”
2022-11-21
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专研长达10年，论文足足177页。
华人数学家通过计算机，找到了让著名欧拉方程失效的“奇点”。
欧拉方程，是250年前（1755年）由瑞士数学家欧拉提出，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程。
它可以说是“鼻祖级”的方程，正如杜克大学数学家Tarek Elgindi的评价：几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的。
即便如此，几百年来仍有许多“未解之谜”让数学家们困惑不已。
例如原则上，如果你已知流体中每个粒子的位置和速度，欧拉方程应该能够预测流体将如何一直演化下去。
但数学家们认为，欧拉方程在某个“奇点”上便会开始输出没有意义的数值，也就是无法再做精准预测。
而一旦达到这个点，人们就认为欧拉方程失效了，更戏剧化的说法，叫做产生了“爆破”（blow up）。
来自加州理工学院华人数学家Thomas Hou等人所做的研究工作，就是通过计算机对此做出了证明。
马里兰大学数学家Tristan Buckmaster在看完这项工作后说：这是一个惊人的结果。此前从来没有过。
用计算机证明欧拉方程的“爆破”
早在2013年的时候，Thomas Hou和现在就职于香港恒生大学的Guo Luo就提出过一个假设：欧拉方程会导致一个奇点。
为此，他们开发了一种计算机来模拟圆柱体中的流体：圆柱体内的液体，上半部分是顺时针旋转，而下半部分则是逆时针旋转。
这两股相反方向的水流在运动的过程中，产生了其它复杂的情况——出现上下循环的水流。
而在它们相遇的地方，流体的涡度（描述流体旋转情况的流体力学概念）以极快的速度增长，似乎随时就要“爆破”。
但他们当时的研究只能说对于“奇点存在”是具备启示性，并没有真正意义的证据。
这是因为计算机不可能计算出无穷大的值，它可以算出的是非常接近奇点的近似值，但并非是精准的那种。
事实上，当用更强大的计算方法探测时，明显的奇点却已经消失了。
也正因如此，普林斯顿大学数学家Charlie Fefferman评价过去人们对这件事的研究为：问题非常的微妙，以至于到处都是模拟研究的“残骸”。
但Thomas Hou等人却不为所动，坚持“死磕”这一难题。
终于在9年后，他和他之前的研究生Jiajie Chen成功证明了附近奇点的存在。
他们先是仔细分析了2013年的研究，发现那个近似解似乎有一个特殊的结构：
随着时间的推移，这些方程的解会呈现出一种所谓的“自相似模式”（self-similar pattern），它的形状后来看起来很像它的早期形状，只是以一种特定的方式重新缩放。
因此，二人认为不需要去研究奇点的本身，相反，可以关注更早的时间点来间接对它做研究。
具体而言，就是通过正确的速率放大解的这部分（是由解的自相似结构决定的），可以模拟之后会发生什么。
为此，他们花费了好几年的时间才找到了与2013年“爆破”情况类似的自我模拟方案。
然后二人需要做的工作，就是证明奇点附近存在一个精确的解。
从数学层面上来说，就是要证明他们找到的那个解是稳定的，即便对它进行扰动，结果也能在近似解周围小邻域的范围内。
但在这个过程中，Thomas Hou发现，他们不得不再借助计算机的力量，因为有太多的精度要确定，计算量简直大到惊人的程度。
但也正如刚才我们提到的，计算机是无法计算无穷大的值，微小的错误可以说是在所难免，因此他们也要小心地跟踪这些错误，以免影响到其它结果。
最终，在“人机结合”的方式之下，Thomas Hou和Jiajie Chen最终找到了所有项的边界，并完成了证明——欧拉方程确实会产生一个奇点。
而这次的证明过程，让Thomas Hou感受颇深：现在的数学工作不再是靠纸和笔，计算机是一种更强大的武器。
对此，Fefferman也补充道：在我看来，如果不大量使用计算机辅助证明，就好像把（数学家）的双手绑在背后一样。
作者介绍
这项研究的作者之一是Thomas Hou，加州理工学院计算与数学科学教授，专攻数值分析和数学分析相关工作。
他本科就读于华南理工大学，于1982年获得学士学位；他的博士生涯是在加州大学洛杉矶分校完成。
1989年到1993年期间，他在纽约大学库朗数学科学研究所任教。
自1993年至今，他便一直在加州理工学院任教。
研究的另一位作者是Jiajie Chen，目前是纽约大学的数学科学家。
他在研究生期间就证明了各种流体方程式可以“爆破”。
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2210.07191
参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/
[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou
